เครื่องมือเพิ่มประสิทธิภาพในความน่าจะเป็นของ TensorFlow

ดูบน TensorFlow.org

ทำงานใน Google Colab

ดูแหล่งที่มาบน GitHub

ดาวน์โหลดโน๊ตบุ๊ค

เชิงนามธรรม

ใน colab นี้ เราสาธิตวิธีใช้เครื่องมือเพิ่มประสิทธิภาพต่างๆ ที่ใช้ใน TensorFlow Probability

การพึ่งพาและข้อกำหนดเบื้องต้น

นำเข้า

%matplotlib inline


import contextlib
import functools
import os
import time

import numpy as np
import pandas as pd
import scipy as sp
from six.moves import urllib
from sklearn import preprocessing

import tensorflow.compat.v2 as tf
tf.enable_v2_behavior()

import tensorflow_probability as tfp

เครื่องมือเพิ่มประสิทธิภาพ BFGS และ L-BFGS

วิธี Quasi Newton เป็นคลาสของอัลกอริธึมการเพิ่มประสิทธิภาพลำดับแรกที่ได้รับความนิยม วิธีการเหล่านี้ใช้ค่าประมาณเชิงบวกที่แน่นอนกับ Hessian เพื่อค้นหาทิศทางการค้นหา

Broyden-Fletcher-ดาล-Shanno อัลกอริทึม ( BFGS ) คือการดำเนินงานที่เฉพาะเจาะจงของความคิดทั่วไปนี้ มันมีผลบังคับใช้และเป็นวิธีการของทางเลือกสำหรับปัญหาขนาดกลางที่ไล่ระดับสีอย่างต่อเนื่องทุกที่ (เช่นถดถอยเชิงเส้นด้วยนั้น \(L_2\) โทษ)

L-BFGS เป็นรุ่นที่ จำกัด หน่วยความจำของ BFGS ที่เป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหาที่มีขนาดใหญ่ที่มีการฝึกอบรมรัฐไม่สามารถคำนวณได้ในราคาที่เหมาะสมหรือไม่ได้เบาบาง แทนการจัดเก็บเต็มแน่น \(n \times n\) ใกล้เคียงของการฝึกอบรมรัฐพวกเขาเท่านั้นที่บันทึกไม่กี่เวกเตอร์ของความยาว \(n\) ที่เป็นตัวแทนประมาณเหล่านี้โดยปริยาย

ฟังก์ชั่นตัวช่วย

CACHE_DIR = os.path.join(os.sep, 'tmp', 'datasets')


def make_val_and_grad_fn(value_fn):
  @functools.wraps(value_fn)
  def val_and_grad(x):
    return tfp.math.value_and_gradient(value_fn, x)
  return val_and_grad


@contextlib.contextmanager
def timed_execution():
  t0 = time.time()
  yield
  dt = time.time() - t0
  print('Evaluation took: %f seconds' % dt)


def np_value(tensor):
  """Get numpy value out of possibly nested tuple of tensors."""
  if isinstance(tensor, tuple):
    return type(tensor)(*(np_value(t) for t in tensor))
  else:
    return tensor.numpy()

def run(optimizer):
  """Run an optimizer and measure it's evaluation time."""
  optimizer()  # Warmup.
  with timed_execution():
    result = optimizer()
  return np_value(result)

L-BFGS บนฟังก์ชันกำลังสองอย่างง่าย

# Fix numpy seed for reproducibility
np.random.seed(12345)

# The objective must be supplied as a function that takes a single
# (Tensor) argument and returns a tuple. The first component of the
# tuple is the value of the objective at the supplied point and the
# second value is the gradient at the supplied point. The value must
# be a scalar and the gradient must have the same shape as the
# supplied argument.

# The `make_val_and_grad_fn` decorator helps transforming a function
# returning the objective value into one that returns both the gradient
# and the value. It also works for both eager and graph mode.

dim = 10
minimum = np.ones([dim])
scales = np.exp(np.random.randn(dim))

@make_val_and_grad_fn
def quadratic(x):
  return tf.reduce_sum(scales * (x - minimum) ** 2, axis=-1)

# The minimization routine also requires you to supply an initial
# starting point for the search. For this example we choose a random
# starting point.
start = np.random.randn(dim)

# Finally an optional argument called tolerance let's you choose the
# stopping point of the search. The tolerance specifies the maximum
# (supremum) norm of the gradient vector at which the algorithm terminates.
# If you don't have a specific need for higher or lower accuracy, leaving
# this parameter unspecified (and hence using the default value of 1e-8)
# should be good enough.
tolerance = 1e-10

@tf.function
def quadratic_with_lbfgs():
  return tfp.optimizer.lbfgs_minimize(
    quadratic,
    initial_position=tf.constant(start),
    tolerance=tolerance)

results = run(quadratic_with_lbfgs)

# The optimization results contain multiple pieces of information. The most
# important fields are: 'converged' and 'position'.
# Converged is a boolean scalar tensor. As the name implies, it indicates
# whether the norm of the gradient at the final point was within tolerance.
# Position is the location of the minimum found. It is important to check
# that converged is True before using the value of the position.

print('L-BFGS Results')
print('Converged:', results.converged)
print('Location of the minimum:', results.position)
print('Number of iterations:', results.num_iterations)

Evaluation took: 0.014586 seconds
L-BFGS Results
Converged: True
Location of the minimum: [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Number of iterations: 10

ปัญหาเดียวกันกับ BFGS

@tf.function
def quadratic_with_bfgs():
  return tfp.optimizer.bfgs_minimize(
    quadratic,
    initial_position=tf.constant(start),
    tolerance=tolerance)

results = run(quadratic_with_bfgs)

print('BFGS Results')
print('Converged:', results.converged)
print('Location of the minimum:', results.position)
print('Number of iterations:', results.num_iterations)

Evaluation took: 0.010468 seconds
BFGS Results
Converged: True
Location of the minimum: [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Number of iterations: 10

การถดถอยเชิงเส้นด้วยโทษ L1: ข้อมูลมะเร็งต่อมลูกหมาก

ตัวอย่างจากหนังสือ: องค์ประกอบของการเรียนรู้สถิติการทำเหมืองข้อมูล, การอนุมานและการทำนายโดยเทรเวอร์ Hastie, โรเบิร์ตทิบชิรา นี และเจอโรมฟรีดแมน

โปรดทราบว่านี่เป็นปัญหาการปรับให้เหมาะสมด้วยบทลงโทษ L1

รับชุดข้อมูล

def cache_or_download_file(cache_dir, url_base, filename):
  """Read a cached file or download it."""
  filepath = os.path.join(cache_dir, filename)
  if tf.io.gfile.exists(filepath):
    return filepath
  if not tf.io.gfile.exists(cache_dir):
    tf.io.gfile.makedirs(cache_dir)
  url = url_base + filename
  print("Downloading {url} to {filepath}.".format(url=url, filepath=filepath))
  urllib.request.urlretrieve(url, filepath)
  return filepath

def get_prostate_dataset(cache_dir=CACHE_DIR):
  """Download the prostate dataset and read as Pandas dataframe."""
  url_base = 'http://web.stanford.edu/~hastie/ElemStatLearn/datasets/'
  return pd.read_csv(
      cache_or_download_file(cache_dir, url_base, 'prostate.data'),
      delim_whitespace=True, index_col=0)

prostate_df = get_prostate_dataset()

Downloading http://web.stanford.edu/~hastie/ElemStatLearn/datasets/prostate.data to /tmp/datasets/prostate.data.

คำจำกัดความของปัญหา

np.random.seed(12345)

feature_names = ['lcavol', 'lweight',   'age',  'lbph', 'svi', 'lcp',   
                 'gleason', 'pgg45']

# Normalize features
scalar = preprocessing.StandardScaler()
prostate_df[feature_names] = pd.DataFrame(
    scalar.fit_transform(
        prostate_df[feature_names].astype('float64')))

# select training set
prostate_df_train = prostate_df[prostate_df.train == 'T'] 

# Select features and labels 
features = prostate_df_train[feature_names]
labels =  prostate_df_train[['lpsa']]

# Create tensors
feat = tf.constant(features.values, dtype=tf.float64)
lab = tf.constant(labels.values, dtype=tf.float64)

dtype = feat.dtype

regularization = 0 # regularization parameter
dim = 8 # number of features

# We pick a random starting point for the search
start = np.random.randn(dim + 1)

def regression_loss(params):
  """Compute loss for linear regression model with L1 penalty

  Args:
    params: A real tensor of shape [dim + 1]. The zeroth component
      is the intercept term and the rest of the components are the
      beta coefficients.

  Returns:
    The mean square error loss including L1 penalty.
  """
  params = tf.squeeze(params)
  intercept, beta  = params[0], params[1:]
  pred = tf.matmul(feat, tf.expand_dims(beta, axis=-1)) + intercept
  mse_loss = tf.reduce_sum(
      tf.cast(
        tf.losses.mean_squared_error(y_true=lab, y_pred=pred), tf.float64))
  l1_penalty = regularization * tf.reduce_sum(tf.abs(beta))
  total_loss = mse_loss + l1_penalty
  return total_loss

การแก้ปัญหาด้วย L-BFGS

ฟิตโดยใช้ L-BFGS แม้ว่าบทลงโทษ L1 จะทำให้เกิดความไม่ต่อเนื่องของอนุพันธ์ แต่ในทางปฏิบัติ L-BFGS ก็ทำงานได้ดีทีเดียว

@tf.function
def l1_regression_with_lbfgs():
  return tfp.optimizer.lbfgs_minimize(
    make_val_and_grad_fn(regression_loss),
    initial_position=tf.constant(start),
    tolerance=1e-8)

results = run(l1_regression_with_lbfgs)
minimum = results.position
fitted_intercept = minimum[0]
fitted_beta = minimum[1:]

print('L-BFGS Results')
print('Converged:', results.converged)
print('Intercept: Fitted ({})'.format(fitted_intercept))
print('Beta:      Fitted {}'.format(fitted_beta))

Evaluation took: 0.017987 seconds
L-BFGS Results
Converged: True
Intercept: Fitted (2.3879985744556484)
Beta:      Fitted [ 0.68626215  0.28193532 -0.17030254  0.10799274  0.33634988 -0.24888523
  0.11992237  0.08689026]

แก้ปัญหาด้วย Nelder Mead

วิธี Nelder มี้ด เป็นหนึ่งในความนิยมมากที่สุดวิธีการลดอนุพันธ์ฟรี เครื่องมือเพิ่มประสิทธิภาพนี้ไม่ได้ใช้ข้อมูลการไล่ระดับสีและไม่ได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับความสามารถในการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันเป้าหมาย ดังนั้นจึงเหมาะสำหรับหน้าที่วัตถุประสงค์ที่ไม่ราบรื่น เช่น ปัญหาการปรับให้เหมาะสมด้วยการปรับโทษ L1

สำหรับปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพใน \(n\)-dimensions รักษาชุดของ\(n+1\) โซลูชั่นผู้สมัครที่ครอบคลุมเริมไม่ใช่คนเลว มันปรับเปลี่ยนซิมเพล็กซ์อย่างต่อเนื่องตามชุดของการเคลื่อนไหว (การสะท้อน การขยายตัว การหดตัวและการหดตัว) โดยใช้ค่าฟังก์ชันที่จุดยอดแต่ละจุด

# Nelder mead expects an initial_vertex of shape [n + 1, 1].
initial_vertex = tf.expand_dims(tf.constant(start, dtype=dtype), axis=-1)

@tf.function
def l1_regression_with_nelder_mead():
  return tfp.optimizer.nelder_mead_minimize(
      regression_loss,
      initial_vertex=initial_vertex,
      func_tolerance=1e-10,
      position_tolerance=1e-10)

results = run(l1_regression_with_nelder_mead)
minimum = results.position.reshape([-1])
fitted_intercept = minimum[0]
fitted_beta = minimum[1:]

print('Nelder Mead Results')
print('Converged:', results.converged)
print('Intercept: Fitted ({})'.format(fitted_intercept))
print('Beta:      Fitted {}'.format(fitted_beta))

Evaluation took: 0.325643 seconds
Nelder Mead Results
Converged: True
Intercept: Fitted (2.387998456121595)
Beta:      Fitted [ 0.68626266  0.28193456 -0.17030291  0.10799375  0.33635132 -0.24888703
  0.11992244  0.08689023]

การถดถอยโลจิสติกพร้อมบทลงโทษ L2

สำหรับตัวอย่างนี้ เราสร้างชุดข้อมูลสังเคราะห์สำหรับการจัดประเภทและใช้เครื่องมือเพิ่มประสิทธิภาพ L-BFGS เพื่อให้พอดีกับพารามิเตอร์

np.random.seed(12345)

dim = 5  # The number of features
n_obs = 10000  # The number of observations

betas = np.random.randn(dim)  # The true beta
intercept = np.random.randn()  # The true intercept

features = np.random.randn(n_obs, dim)  # The feature matrix
probs = sp.special.expit(
    np.matmul(features, np.expand_dims(betas, -1)) + intercept)

labels = sp.stats.bernoulli.rvs(probs)  # The true labels

regularization = 0.8
feat = tf.constant(features)
lab = tf.constant(labels, dtype=feat.dtype)

@make_val_and_grad_fn
def negative_log_likelihood(params):
  """Negative log likelihood for logistic model with L2 penalty

  Args:
    params: A real tensor of shape [dim + 1]. The zeroth component
      is the intercept term and the rest of the components are the
      beta coefficients.

  Returns:
    The negative log likelihood plus the penalty term. 
  """
  intercept, beta  = params[0], params[1:]
  logit = tf.matmul(feat, tf.expand_dims(beta, -1)) + intercept
  log_likelihood = tf.reduce_sum(tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(
      labels=lab, logits=logit))
  l2_penalty = regularization * tf.reduce_sum(beta ** 2)
  total_loss = log_likelihood + l2_penalty
  return total_loss

start = np.random.randn(dim + 1)

@tf.function
def l2_regression_with_lbfgs():
  return tfp.optimizer.lbfgs_minimize(
      negative_log_likelihood,
      initial_position=tf.constant(start),
      tolerance=1e-8)

results = run(l2_regression_with_lbfgs)
minimum = results.position
fitted_intercept = minimum[0]
fitted_beta = minimum[1:]

print('Converged:', results.converged)
print('Intercept: Fitted ({}), Actual ({})'.format(fitted_intercept, intercept))
print('Beta:\n\tFitted {},\n\tActual {}'.format(fitted_beta, betas))

Evaluation took: 0.056751 seconds
Converged: True
Intercept: Fitted (1.4111415084244365), Actual (1.3934058329729904)
Beta:
    Fitted [-0.18016612  0.53121578 -0.56420632 -0.5336374   2.00499675],
    Actual [-0.20470766  0.47894334 -0.51943872 -0.5557303   1.96578057]

รองรับแบทช์

ทั้ง BFGS และ L-BFGS รองรับการคำนวณแบบแบตช์ ตัวอย่างเช่น เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชันเดียวจากจุดเริ่มต้นที่แตกต่างกันมากมาย หรือฟังก์ชันพารามิเตอร์หลายตัวจากจุดเดียว

ฟังก์ชันเดียว หลายจุดเริ่มต้น

ฟังก์ชันของ Himmelblau เป็นกรณีทดสอบการเพิ่มประสิทธิภาพมาตรฐาน ฟังก์ชันนี้กำหนดโดย:

\[f(x, y) = (x^2 + y - 11)^2 + (x + y^2 - 7)^2\]

ฟังก์ชั่นมีสี่ขั้นต่ำอยู่ที่:

• (3, 2),
• (-2.805118, 3.131312),
• (-3.779310, -3.283186),
• (3.584428, -1.848126).

ค่าต่ำสุดเหล่านี้สามารถเข้าถึงได้จากจุดเริ่มต้นที่เหมาะสม

# The function to minimize must take as input a tensor of shape [..., n]. In
# this n=2 is the size of the domain of the input and [...] are batching
# dimensions. The return value must be of shape [...], i.e. a batch of scalars
# with the objective value of the function evaluated at each input point.

@make_val_and_grad_fn
def himmelblau(coord):
  x, y = coord[..., 0], coord[..., 1]
  return (x * x + y - 11) ** 2 + (x + y * y - 7) ** 2

starts = tf.constant([[1, 1],
                      [-2, 2],
                      [-1, -1],
                      [1, -2]], dtype='float64')

# The stopping_condition allows to further specify when should the search stop.
# The default, tfp.optimizer.converged_all, will proceed until all points have
# either converged or failed. There is also a tfp.optimizer.converged_any to
# stop as soon as the first point converges, or all have failed.

@tf.function
def batch_multiple_starts():
  return tfp.optimizer.lbfgs_minimize(
      himmelblau, initial_position=starts,
      stopping_condition=tfp.optimizer.converged_all,
      tolerance=1e-8)

results = run(batch_multiple_starts)
print('Converged:', results.converged)
print('Minima:', results.position)

Evaluation took: 0.019095 seconds
Converged: [ True  True  True  True]
Minima: [[ 3.          2.        ]
 [-2.80511809  3.13131252]
 [-3.77931025 -3.28318599]
 [ 3.58442834 -1.84812653]]

หลายฟังก์ชั่น

เพื่อจุดประสงค์ในการสาธิต ในตัวอย่างนี้ เราเพิ่มประสิทธิภาพชามกำลังสองที่สร้างแบบสุ่มในมิติสูงจำนวนมากพร้อมกัน

np.random.seed(12345)

dim = 100
batches = 500
minimum = np.random.randn(batches, dim)
scales = np.exp(np.random.randn(batches, dim))

@make_val_and_grad_fn
def quadratic(x):
  return tf.reduce_sum(input_tensor=scales * (x - minimum)**2, axis=-1)

# Make all starting points (1, 1, ..., 1). Note not all starting points need
# to be the same.
start = tf.ones((batches, dim), dtype='float64')

@tf.function
def batch_multiple_functions():
  return tfp.optimizer.lbfgs_minimize(
      quadratic, initial_position=start,
      stopping_condition=tfp.optimizer.converged_all,
      max_iterations=100,
      tolerance=1e-8)

results = run(batch_multiple_functions)
print('All converged:', np.all(results.converged))
print('Largest error:', np.max(results.position - minimum))

Evaluation took: 1.994132 seconds
All converged: True
Largest error: 4.4131473142527966e-08