Моделирование распространения COVID-19 в Европе и влияние вмешательств

Под лицензией MIT

Посмотреть на TensorFlow.org Запускаем в Google Colab Посмотреть исходный код на GitHub Скачать блокнот

Чтобы замедлить распространение COVID-19 в начале 2020 года, европейские страны приняли нефармацевтические меры, такие как закрытие второстепенных предприятий, изоляция отдельных случаев, запреты на поездки и другие меры для поощрения социального дистанцирования. Imperial College COVID-19 группа реагирования на анализ эффективности этих мер в их работе «Оценка числа инфекций и воздействия нелекарственных вмешательств на COVID-19 в 11 европейских странах» , используя байесовский иерархическую модель в сочетании с механистической эпидемиологическая модель.

Этот Colab содержит реализацию этого анализа TensorFlow Probability (TFP), организованную следующим образом:

  • «Настройка модели» определяет эпидемиологическую модель передачи заболеваний и связанных с ними смертей, байесовское априорное распределение по параметрам модели и распределение числа смертей, обусловленных значениями параметров.
  • «Предварительная обработка данных» загружает данные о сроках и типах вмешательств в каждой стране, количестве смертей с течением времени и оценочных показателях летальности среди инфицированных.
  • «Модельный вывод» строит байесовскую иерархическую модель и запускает гамильтониан Монте-Карло (HMC) для выборки из апостериорного распределения по параметрам.
  • «Результаты» показывают апостериорные прогностические распределения для количества представляющих интерес, таких как прогнозируемые смерти и контрфактические смерти при отсутствии вмешательств.

В документе нашел доказательство того, что страны удались сократить число новых инфекций , передаваемых каждый инфицированным человеком (\(R_t\)), но правдоподобные интервалы содержали \(R_t=1\) (значение , выше которого эпидемия продолжает распространяться) , и что это было преждевременным сделать убедительные выводы об эффективности вмешательств. Код Стана для бумаги в авторах Github репозитории, и это Colab воспроизводит версию 2 .

pip3 install -q git+git://github.com/arviz-devs/arviz.git
pip3 install -q tf-nightly tfp-nightly

Импорт

1 Настройка модели

1.1 Механистическая модель инфекций и смертей

Модель заражения имитирует количество инфекций в каждой стране с течением времени. Исходные данные - это время и тип вмешательств, размер популяции и начальные случаи. Параметры контролируют эффективность вмешательств и скорость передачи болезней. Модель ожидаемого числа смертей применяет коэффициент смертности к прогнозируемым инфекциям.

Модель заражения выполняет свертку предыдущих ежедневных инфекций с последовательным интервальным распределением (распределение по количеству дней между заражением и заражением другого человека). На каждом временном шаге, число новых инфекций в момент времени \(t\), \(n_t\), рассчитывается как

\ begin {уравнение} \ sum_ {i = 0} ^ {t-1} n_i \ mu_t \ text {p} (\ text {пойман от кого-то, кто заражен в} i | \ text {недавно заражен в} t) \ end { уравнение} , где \(\mu_t=R_t\) и условная вероятность хранятся в conv_serial_interval , определенные ниже.

Модель ожидаемых смертей представляет собой свертку ежедневных инфекций и распределение дней между заражением и смертью. То есть, как ожидается смерти на день \(t\) рассчитывается как

\ начать {уравнение} \ sum_ {я = 0} ^ {т-1} N_i \ текст {р (смерть на день \(t\)| инфекция на день \(i\))} \ конец {уравнения} , где хранится условная вероятность в conv_fatality_rate , определенных ниже.

from tensorflow_probability.python.internal import broadcast_util as bu

def predict_infections(
    intervention_indicators, population, initial_cases, mu, alpha_hier,
    conv_serial_interval, initial_days, total_days):
  """Predict the number of infections by forward-simulation.

  Args:
    intervention_indicators: Binary array of shape
      `[num_countries, total_days, num_interventions]`, in which `1` indicates
      the intervention is active in that country at that time and `0` indicates
      otherwise.
    population: Vector of length `num_countries`. Population of each country.
    initial_cases: Array of shape `[batch_size, num_countries]`. Number of cases
      in each country at the start of the simulation.
    mu: Array of shape `[batch_size, num_countries]`. Initial reproduction rate
      (R_0) by country.
    alpha_hier: Array of shape `[batch_size, num_interventions]` representing
      the effectiveness of interventions.
    conv_serial_interval: Array of shape
      `[total_days - initial_days, total_days]` output from
      `make_conv_serial_interval`. Convolution kernel for serial interval
      distribution.
    initial_days: Integer, number of sequential days to seed infections after
      the 10th death in a country. (N0 in the authors' Stan code.)
    total_days: Integer, number of days of observed data plus days to forecast.
      (N2 in the authors' Stan code.)
  Returns:
    predicted_infections: Array of shape
      `[total_days, batch_size, num_countries]`. (Batched) predicted number of
      infections over time and by country.
  """
  alpha = alpha_hier - tf.cast(np.log(1.05) / 6.0, DTYPE)

  # Multiply the effectiveness of each intervention in each country (alpha)
  # by the indicator variable for whether the intervention was active and sum
  # over interventions, yielding an array of shape
  # [total_days, batch_size, num_countries] that represents the total effectiveness of
  # all interventions in each country on each day (for a batch of data).
  linear_prediction = tf.einsum(
      'ijk,...k->j...i', intervention_indicators, alpha)

  # Adjust the reproduction rate per country downward, according to the
  # effectiveness of the interventions.
  rt = mu * tf.exp(-linear_prediction, name='reproduction_rate')

  # Initialize storage array for daily infections and seed it with initial
  # cases.
  daily_infections = tf.TensorArray(
      dtype=DTYPE, size=total_days, element_shape=initial_cases.shape)
  for i in range(initial_days):
    daily_infections = daily_infections.write(i, initial_cases)

  # Initialize cumulative cases.
  init_cumulative_infections = initial_cases * initial_days

  # Simulate forward for total_days days.
  cond = lambda i, *_: i < total_days
  def body(i, prev_daily_infections, prev_cumulative_infections):
    # The probability distribution over days j that someone infected on day i
    # caught the virus from someone infected on day j.
    p_infected_on_day = tf.gather(
        conv_serial_interval, i - initial_days, axis=0)

    # Multiply p_infected_on_day by the number previous infections each day and
    # by mu, and sum to obtain new infections on day i. Mu is adjusted by
    # the fraction of the population already infected, so that the population
    # size is the upper limit on the number of infections.
    prev_daily_infections_array = prev_daily_infections.stack()
    to_sum = prev_daily_infections_array * bu.left_justified_expand_dims_like(
        p_infected_on_day, prev_daily_infections_array)
    convolution = tf.reduce_sum(to_sum, axis=0)
    rt_adj = (
        (population - prev_cumulative_infections) / population
        ) * tf.gather(rt, i)
    new_infections = rt_adj * convolution

    # Update the prediction array and the cumulative number of infections.
    daily_infections = prev_daily_infections.write(i, new_infections)
    cumulative_infections = prev_cumulative_infections + new_infections
    return i + 1, daily_infections, cumulative_infections

  _, daily_infections_final, last_cumm_sum = tf.while_loop(
      cond, body,
      (initial_days, daily_infections, init_cumulative_infections),
      maximum_iterations=(total_days - initial_days))
  return daily_infections_final.stack()

def predict_deaths(predicted_infections, ifr_noise, conv_fatality_rate):
  """Expected number of reported deaths by country, by day.

  Args:
    predicted_infections: Array of shape
      `[total_days, batch_size, num_countries]` output from
      `predict_infections`.
    ifr_noise: Array of shape `[batch_size, num_countries]`. Noise in Infection
      Fatality Rate (IFR).
    conv_fatality_rate: Array of shape
      `[total_days - 1, total_days, num_countries]`. Convolutional kernel for
      calculating fatalities, output from `make_conv_fatality_rate`.
  Returns:
    predicted_deaths: Array of shape `[total_days, batch_size, num_countries]`.
      (Batched) predicted number of deaths over time and by country.
  """
  # Multiply the number of infections on day j by the probability of death
  # on day i given infection on day j, and sum over j. This yields the expected
  result_remainder = tf.einsum(
      'i...j,kij->k...j', predicted_infections, conv_fatality_rate) * ifr_noise

  # Concatenate the result with a vector of zeros so that the first day is
  # included.
  result_temp = 1e-15 * predicted_infections[:1]
  return tf.concat([result_temp, result_remainder], axis=0)

1.2 Предварительные значения параметров

Здесь мы определяем совместное априорное распределение по параметрам модели. Предполагается, что многие значения параметров независимы, так что априорное значение может быть выражено как:

\(\text p(\tau, y, \psi, \kappa, \mu, \alpha) = \text p(\tau)\text p(y|\tau)\text p(\psi)\text p(\kappa)\text p(\mu|\kappa)\text p(\alpha)\text p(\epsilon)\)

в котором:

  • \(\tau\) является параметром общего темпа распределения экспоненциального по числу первоначальных случаев в страну, \(y = y_1, ... y_{\text{num_countries} }\).
  • \(\psi\) является параметром отрицательного биномиального распределения для числа смертей.
  • \(\kappa\) является общим параметром масштаба распределения HalfNormal над начальным номером воспроизводства в каждой страну, \(\mu = \mu_1, ..., \mu_{\text{num_countries} }\) ( с указанием количества дополнительных случаев , передаваемых каждым инфицированным человеком).
  • \(\alpha = \alpha_1, ..., \alpha_6\) является эффективность каждого из шести мероприятий.
  • \(\epsilon\) ( так называемый ifr_noise в коде, после того, как Стэн код авторов) шум в Infection летальности (IFR).

Мы выражаем эту модель как TFP JointDistribution, тип распределения TFP, который позволяет выражать вероятностные графические модели.

def make_jd_prior(num_countries, num_interventions):
  return tfd.JointDistributionSequentialAutoBatched([
      # Rate parameter for the distribution of initial cases (tau).
      tfd.Exponential(rate=tf.cast(0.03, DTYPE)),

      # Initial cases for each country.
      lambda tau: tfd.Sample(
          tfd.Exponential(rate=tf.cast(1, DTYPE) / tau),
          sample_shape=num_countries),

      # Parameter in Negative Binomial model for deaths (psi).
      tfd.HalfNormal(scale=tf.cast(5, DTYPE)),

      # Parameter in the distribution over the initial reproduction number, R_0
      # (kappa).
      tfd.HalfNormal(scale=tf.cast(0.5, DTYPE)),

      # Initial reproduction number, R_0, for each country (mu).
      lambda kappa: tfd.Sample(
          tfd.TruncatedNormal(loc=3.28, scale=kappa, low=1e-5, high=1e5),
          sample_shape=num_countries),

      # Impact of interventions (alpha; shared for all countries).
      tfd.Sample(
          tfd.Gamma(tf.cast(0.1667, DTYPE), 1), sample_shape=num_interventions),

      # Multiplicative noise in Infection Fatality Rate.
      tfd.Sample(
          tfd.TruncatedNormal(
              loc=tf.cast(1., DTYPE), scale=0.1, low=1e-5, high=1e5),
              sample_shape=num_countries)
  ])

1.3 Вероятность наблюдаемых смертей зависит от значений параметров

Вероятность того, модель Выражает \(p(\text{deaths} | \tau, y, \psi, \kappa, \mu, \alpha, \epsilon)\). Он применяет модели количества инфекций и ожидаемых смертей, обусловленных параметрами, и предполагает, что фактические смерти соответствуют отрицательному биномиальному распределению.

def make_likelihood_fn(
    intervention_indicators, population, deaths,
    infection_fatality_rate, initial_days, total_days):

  # Create a mask for the initial days of simulated data, as they are not
  # counted in the likelihood.
  observed_deaths = tf.constant(deaths.T[np.newaxis, ...], dtype=DTYPE)
  mask_temp = deaths != -1
  mask_temp[:, :START_DAYS] = False
  observed_deaths_mask = tf.constant(mask_temp.T[np.newaxis, ...])

  conv_serial_interval = make_conv_serial_interval(initial_days, total_days)
  conv_fatality_rate = make_conv_fatality_rate(
      infection_fatality_rate, total_days)

  def likelihood_fn(tau, initial_cases, psi, kappa, mu, alpha_hier, ifr_noise):
    # Run models for infections and expected deaths
    predicted_infections = predict_infections(
        intervention_indicators, population, initial_cases, mu, alpha_hier,
        conv_serial_interval, initial_days, total_days)
    e_deaths_all_countries = predict_deaths(
        predicted_infections, ifr_noise, conv_fatality_rate)

    # Construct the Negative Binomial distribution for deaths by country.
    mu_m = tf.transpose(e_deaths_all_countries, [1, 0, 2])
    psi_m = psi[..., tf.newaxis, tf.newaxis]
    probs = tf.clip_by_value(mu_m / (mu_m + psi_m), 1e-9, 1.)
    likelihood_elementwise = tfd.NegativeBinomial(
        total_count=psi_m, probs=probs).log_prob(observed_deaths)
    return tf.reduce_sum(
        tf.where(observed_deaths_mask,
                likelihood_elementwise,
                tf.zeros_like(likelihood_elementwise)),
        axis=[-2, -1])

  return likelihood_fn

1.4 Вероятность смерти от инфекции

В этом разделе вычисляется распределение смертей в дни после заражения. Предполагается, что время от заражения до смерти является суммой двух величин, варьирующихся по гамма-шкале, представляющих время от заражения до начала заболевания и время от начала до смерти. Распределение времени до смерти в сочетании с инфекцией летальности данных с Верити и др. (2020) , чтобы вычислить вероятность смерти в дни после заражения.

def daily_fatality_probability(infection_fatality_rate, total_days):
  """Computes the probability of death `d` days after infection."""

  # Convert from alternative Gamma parametrization and construct distributions
  # for number of days from infection to onset and onset to death.
  concentration1 = tf.cast((1. / 0.86)**2, DTYPE)
  rate1 = concentration1 / 5.1
  concentration2 = tf.cast((1. / 0.45)**2, DTYPE)
  rate2 = concentration2 / 18.8
  infection_to_onset = tfd.Gamma(concentration=concentration1, rate=rate1)
  onset_to_death = tfd.Gamma(concentration=concentration2, rate=rate2)

  # Create empirical distribution for number of days from infection to death.
  inf_to_death_dist = tfd.Empirical(
      infection_to_onset.sample([5e6]) + onset_to_death.sample([5e6]))

  # Subtract the CDF value at day i from the value at day i + 1 to compute the
  # probability of death on day i given infection on day 0, and given that
  # death (not recovery) is the outcome.
  times = np.arange(total_days + 1., dtype=DTYPE) + 0.5
  cdf = inf_to_death_dist.cdf(times).numpy()
  f_before_ifr = cdf[1:] - cdf[:-1]
  # Explicitly set the zeroth value to the empirical cdf at time 1.5, to include
  # the mass between time 0 and time .5.
  f_before_ifr[0] = cdf[1]

  # Multiply the daily fatality rates conditional on infection and eventual
  # death (f_before_ifr) by the infection fatality rates (probability of death
  # given intection) to obtain the probability of death on day i conditional
  # on infection on day 0.
  return infection_fatality_rate[..., np.newaxis] * f_before_ifr

def make_conv_fatality_rate(infection_fatality_rate, total_days):
  """Computes the probability of death on day `i` given infection on day `j`."""
  p_fatal_all_countries = daily_fatality_probability(
      infection_fatality_rate, total_days)

  # Use the probability of death d days after infection in each country
  # to build an array of shape [total_days - 1, total_days, num_countries],
  # where the element [i, j, c] is the probability of death on day i+1 given
  # infection on day j in country c.
  conv_fatality_rate = np.zeros(
      [total_days - 1, total_days, p_fatal_all_countries.shape[0]])
  for n in range(1, total_days):
    conv_fatality_rate[n - 1, 0:n, :] = (
        p_fatal_all_countries[:, n - 1::-1]).T
  return tf.constant(conv_fatality_rate, dtype=DTYPE)

1.5 Последовательный интервал

Последовательный интервал - это время между последовательными случаями в цепочке передачи болезни, и предполагается, что он имеет гамма-распределение. Мы используем серийный интервал распределения , чтобы вычислить вероятность того, что человек , инфицированный на день \(i\) поймал вирус от человека , ранее инфицированных на день \(j\) ( conv_serial_interval аргумента в predict_infections ).

def make_conv_serial_interval(initial_days, total_days):
  """Construct the convolutional kernel for infection timing."""

  g = tfd.Gamma(tf.cast(1. / (0.62**2), DTYPE), 1./(6.5*0.62**2))
  g_cdf = g.cdf(np.arange(total_days, dtype=DTYPE))

  # Approximate the probability mass function for the number of days between
  # successive infections.
  serial_interval = g_cdf[1:] - g_cdf[:-1]

  # `conv_serial_interval` is an array of shape
  # [total_days - initial_days, total_days] in which entry [i, j] contains the
  # probability that an individual infected on day i + initial_days caught the
  # virus from someone infected on day j.
  conv_serial_interval = np.zeros([total_days - initial_days, total_days])
  for n in range(initial_days, total_days):
    conv_serial_interval[n - initial_days, 0:n] = serial_interval[n - 1::-1]
  return tf.constant(conv_serial_interval, dtype=DTYPE)

2 Предварительная обработка данных

COUNTRIES = [
    'Austria',
    'Belgium',
    'Denmark',
    'France',
    'Germany',
    'Italy',
    'Norway',
    'Spain',
    'Sweden',
    'Switzerland',
    'United_Kingdom'
]

2.1 Получение и предварительная обработка данных о вмешательствах

2.2 Получите данные о случае / смерти и присоединитесь к вмешательству

2.3 Получение и обработка данных об уровне смертности и численности населения

2.4 Предварительная обработка данных для конкретной страны

# Model up to 75 days of data for each country, starting 30 days before the
# tenth cumulative death.
START_DAYS = 30
MAX_DAYS = 102
COVARIATE_COLUMNS = any_intervention_list + ['any_intervention']

# Initialize an array for number of deaths.
deaths = -np.ones((num_countries, MAX_DAYS), dtype=DTYPE)

# Assuming every intervention is still inplace in the unobserved future
num_interventions = len(COVARIATE_COLUMNS)
intervention_indicators = np.ones((num_countries, MAX_DAYS, num_interventions))

first_days = {}
for i, c in enumerate(COUNTRIES):
  c_data = data.loc[c]

  # Include data only after 10th death in a country.
  mask = c_data['deaths'].cumsum() >= 10

  # Get the date that the epidemic starts in a country.
  first_day = c_data.index[mask][0] - pd.to_timedelta(START_DAYS, 'days')
  c_data = c_data.truncate(before=first_day)

  # Truncate the data after 28 March 2020 for comparison with Flaxman et al.
  c_data = c_data.truncate(after='2020-03-28')

  c_data = c_data.iloc[:MAX_DAYS]
  days_of_data = c_data.shape[0]
  deaths[i, :days_of_data] = c_data['deaths']
  intervention_indicators[i, :days_of_data] = c_data[
    COVARIATE_COLUMNS].to_numpy()
  first_days[c] = first_day

# Number of sequential days to seed infections after the 10th death in a
# country. (N0 in authors' Stan code.)
INITIAL_DAYS = 6

# Number of days of observed data plus days to forecast. (N2 in authors' Stan
# code.)
TOTAL_DAYS = deaths.shape[1]

3 Вывод модели

Flaxman et al. (2020) использовали Стан для выборки из параметров задней с гамильтонианом Монте - Карло (HMC) и No-U-Turn Sampler (NUTS).

Здесь мы применяем HMC с адаптацией размера шага двойного усреднения. Мы используем пилотный запуск HMC для предварительной обработки и инициализации.

Логический вывод выполняется на графическом процессоре за несколько минут.

3.1 Построение априорной и вероятностной модели

jd_prior = make_jd_prior(num_countries, num_interventions)
likelihood_fn = make_likelihood_fn(
    intervention_indicators, population_value, deaths,
    infection_fatality_rate, INITIAL_DAYS, TOTAL_DAYS)

3.2 Утилиты

def get_bijectors_from_samples(samples, unconstraining_bijectors, batch_axes):
  """Fit bijectors to the samples of a distribution.

  This fits a diagonal covariance multivariate Gaussian transformed by the
  `unconstraining_bijectors` to the provided samples. The resultant
  transformation can be used to precondition MCMC and other inference methods.
  """
  state_std = [    
      tf.math.reduce_std(bij.inverse(x), axis=batch_axes)
      for x, bij in zip(samples, unconstraining_bijectors)
  ]
  state_mu = [
      tf.math.reduce_mean(bij.inverse(x), axis=batch_axes)
      for x, bij in zip(samples, unconstraining_bijectors)
  ]
  return [tfb.Chain([cb, tfb.Shift(sh), tfb.Scale(sc)])
          for cb, sh, sc in zip(unconstraining_bijectors, state_mu, state_std)]

def generate_init_state_and_bijectors_from_prior(nchain, unconstraining_bijectors):
  """Creates an initial MCMC state, and bijectors from the prior."""
  prior_samples = jd_prior.sample(4096)

  bijectors = get_bijectors_from_samples(
      prior_samples, unconstraining_bijectors, batch_axes=0)

  init_state = [
    bij(tf.zeros([nchain] + list(s), DTYPE))
    for s, bij in zip(jd_prior.event_shape, bijectors)
  ]

  return init_state, bijectors

@tf.function(autograph=False, experimental_compile=True)
def sample_hmc(
    init_state,
    step_size,
    target_log_prob_fn,
    unconstraining_bijectors,
    num_steps=500,
    burnin=50,
    num_leapfrog_steps=10):

    def trace_fn(_, pkr):
        return {
            'target_log_prob': pkr.inner_results.inner_results.accepted_results.target_log_prob,
            'diverging': ~(pkr.inner_results.inner_results.log_accept_ratio > -1000.),
            'is_accepted': pkr.inner_results.inner_results.is_accepted,
            'step_size': [tf.exp(s) for s in pkr.log_averaging_step],
        }

    hmc = tfp.mcmc.HamiltonianMonteCarlo(
        target_log_prob_fn,
        step_size=step_size,
        num_leapfrog_steps=num_leapfrog_steps)

    hmc = tfp.mcmc.TransformedTransitionKernel(
        inner_kernel=hmc,
        bijector=unconstraining_bijectors)

    hmc = tfp.mcmc.DualAveragingStepSizeAdaptation(
        hmc,
        num_adaptation_steps=int(burnin * 0.8),
        target_accept_prob=0.8,
        decay_rate=0.5)

    # Sampling from the chain.
    return tfp.mcmc.sample_chain(
        num_results=burnin + num_steps,
        current_state=init_state,
        kernel=hmc,
        trace_fn=trace_fn)

3.3 Определение бижекторов пространства событий

ЖКК является наиболее эффективным при отборе проб из изотропного многомерного распределения Гаусса ( Mangoubi & Смит (2017) ), так что первый шаг должны обуславливать плотность мишени выглядеть так же , как , что , насколько это возможно.

Прежде всего, мы преобразуем ограниченные (например, неотрицательные) переменные в неограниченное пространство, которое требует HMC. Кроме того, мы используем бижектор SinhArcsinh, чтобы управлять тяжестью хвостов преобразованной целевой плотности; мы хотим , чтобы они упасть примерно как \(e^{-x^2}\).

unconstraining_bijectors = [
    tfb.Chain([tfb.Scale(tf.constant(1 / 0.03, DTYPE)), tfb.Softplus(),
                tfb.SinhArcsinh(tailweight=tf.constant(1.85, DTYPE))]), # tau
    tfb.Chain([tfb.Scale(tf.constant(1 / 0.03, DTYPE)), tfb.Softplus(),
                tfb.SinhArcsinh(tailweight=tf.constant(1.85, DTYPE))]), # initial_cases
    tfb.Softplus(), # psi
    tfb.Softplus(), # kappa
    tfb.Softplus(), # mu
    tfb.Chain([tfb.Scale(tf.constant(0.4, DTYPE)), tfb.Softplus(),
                tfb.SinhArcsinh(skewness=tf.constant(-0.2, DTYPE), tailweight=tf.constant(2., DTYPE))]), # alpha
    tfb.Softplus(), # ifr_noise
]

3.4 Пилотный запуск HMC

Сначала мы запускаем HMC с предварительным условием, инициализированным нулями в преобразованном пространстве. Мы не используем предыдущие образцы для инициализации цепочки, поскольку на практике они часто приводят к зависанию цепочки из-за плохих чисел.

%%time

nchain = 32

target_log_prob_fn = lambda *x: jd_prior.log_prob(*x) + likelihood_fn(*x)
init_state, bijectors = generate_init_state_and_bijectors_from_prior(nchain, unconstraining_bijectors)

# Each chain gets its own step size.
step_size = [tf.fill([nchain] + [1] * (len(s.shape) - 1), tf.constant(0.01, DTYPE)) for s in init_state]

burnin = 200
num_steps = 100

pilot_samples, pilot_sampler_stat = sample_hmc(
    init_state,
    step_size,
    target_log_prob_fn,
    bijectors,
    num_steps=num_steps,
    burnin=burnin,
    num_leapfrog_steps=10)

CPU times: user 56.8 s, sys: 2.34 s, total: 59.1 s
Wall time: 1min 1s

3.5 Визуализировать пилотные образцы

Мы ищем застрявшие цепи и завидную конвергенцию. Здесь мы можем провести формальную диагностику, но в этом нет необходимости, учитывая, что это всего лишь пилотный запуск.

import arviz as az
az.style.use('arviz-darkgrid')

var_name = ['tau', 'initial_cases', 'psi', 'kappa', 'mu', 'alpha', 'ifr_noise']

pilot_with_warmup = {k: np.swapaxes(v.numpy(), 1, 0)
                     for k, v in zip(var_name, pilot_samples)}

Мы наблюдаем расхождения во время разминки, в первую очередь потому, что адаптация размера шага двойного усреднения использует очень агрессивный поиск оптимального размера шага. После отключения адаптации исчезают и расхождения.

az_trace = az.from_dict(posterior=pilot_with_warmup,
                        sample_stats={'diverging': np.swapaxes(pilot_sampler_stat['diverging'].numpy(), 0, 1)})
az.plot_trace(az_trace, combined=True, compact=True, figsize=(12, 8));

PNG

plt.plot(pilot_sampler_stat['step_size'][0]);

PNG

3.6 Запуск HMC

В принципе, мы могли бы использовать пилотные образцы для окончательного анализа (если мы прогоним его дольше, чтобы добиться сходимости), но немного эффективнее запустить еще один прогон HMC, на этот раз предварительно подготовленный и инициализированный пилотными выборками.

%%time

burnin = 50
num_steps = 200

bijectors = get_bijectors_from_samples([s[burnin:] for s in pilot_samples],
                                       unconstraining_bijectors=unconstraining_bijectors,
                                       batch_axes=(0, 1))

samples, sampler_stat = sample_hmc(
    [s[-1] for s in pilot_samples],
    [s[-1] for s in pilot_sampler_stat['step_size']],
    target_log_prob_fn,
    bijectors,
    num_steps=num_steps,
    burnin=burnin,
    num_leapfrog_steps=20)

CPU times: user 1min 26s, sys: 3.88 s, total: 1min 30s
Wall time: 1min 32s

plt.plot(sampler_stat['step_size'][0]);

PNG

3.7 Визуализировать образцы

import arviz as az
az.style.use('arviz-darkgrid')

var_name = ['tau', 'initial_cases', 'psi', 'kappa', 'mu', 'alpha', 'ifr_noise']

posterior = {k: np.swapaxes(v.numpy()[burnin:], 1, 0)
             for k, v in zip(var_name, samples)}
posterior_with_warmup = {k: np.swapaxes(v.numpy(), 1, 0)
             for k, v in zip(var_name, samples)}

Вычислите сводку цепочек. Мы ищем высокий ESS и r_hat близкий к 1.

az.summary(posterior)

az_trace = az.from_dict(posterior=posterior_with_warmup,
                        sample_stats={'diverging': np.swapaxes(sampler_stat['diverging'].numpy(), 0, 1)})
az.plot_trace(az_trace, combined=True, compact=True, figsize=(12, 8));

PNG

Поучительно взглянуть на функции автокорреляции по всем измерениям. Мы ищем функции, которые быстро выходят из строя, но не настолько, чтобы переходить в отрицательное значение (что указывает на то, что HMC попадает в резонанс, что плохо для эргодичности и может привести к смещению).

with az.rc_context(rc={'plot.max_subplots': None}):
  az.plot_autocorr(posterior, combined=True, figsize=(12, 16), textsize=12);

PNG

4 результат

Следующие участки анализируют задние прогнозирующие распределения над \(R_t\), количество смертей и количество инфекций, подобных анализу в Флаксмана и соавт. (2020).

total_num_samples = np.prod(posterior['mu'].shape[:2])

# Calculate R_t given parameter estimates.
def rt_samples_batched(mu, intervention_indicators, alpha):
  linear_prediction = tf.reduce_sum(
      intervention_indicators * alpha[..., np.newaxis, np.newaxis, :], axis=-1)
  rt_hat = mu[..., tf.newaxis] * tf.exp(-linear_prediction, name='rt')
  return rt_hat

alpha_hat = tf.convert_to_tensor(
    posterior['alpha'].reshape(total_num_samples, posterior['alpha'].shape[-1]))
mu_hat = tf.convert_to_tensor(
    posterior['mu'].reshape(total_num_samples, num_countries))
rt_hat = rt_samples_batched(mu_hat, intervention_indicators, alpha_hat)
sampled_initial_cases = posterior['initial_cases'].reshape(
    total_num_samples, num_countries)
sampled_ifr_noise = posterior['ifr_noise'].reshape(
    total_num_samples, num_countries)
psi_hat = posterior['psi'].reshape([total_num_samples])

conv_serial_interval = make_conv_serial_interval(INITIAL_DAYS, TOTAL_DAYS)
conv_fatality_rate = make_conv_fatality_rate(infection_fatality_rate, TOTAL_DAYS)
pred_hat = predict_infections(
    intervention_indicators, population_value, sampled_initial_cases, mu_hat,
    alpha_hat, conv_serial_interval, INITIAL_DAYS, TOTAL_DAYS)
expected_deaths = predict_deaths(pred_hat, sampled_ifr_noise, conv_fatality_rate)

psi_m = psi_hat[np.newaxis, ..., np.newaxis]
probs = tf.clip_by_value(expected_deaths / (expected_deaths + psi_m), 1e-9, 1.)
predicted_deaths = tfd.NegativeBinomial(
    total_count=psi_m, probs=probs).sample()

# Predict counterfactual infections/deaths in the absence of interventions
no_intervention_infections = predict_infections(
    intervention_indicators,
    population_value,
    sampled_initial_cases,
    mu_hat,
    tf.zeros_like(alpha_hat),
    conv_serial_interval,
    INITIAL_DAYS, TOTAL_DAYS)

no_intervention_expected_deaths = predict_deaths(
    no_intervention_infections, sampled_ifr_noise, conv_fatality_rate)
probs = tf.clip_by_value(
    no_intervention_expected_deaths / (no_intervention_expected_deaths + psi_m),
    1e-9, 1.)
no_intervention_predicted_deaths = tfd.NegativeBinomial(
    total_count=psi_m, probs=probs).sample()

4.1 Эффективность вмешательств

Подобно рисунку 4 Flaxman et al. (2020).

def intervention_effectiveness(alpha):

  alpha_adj = 1. - np.exp(-alpha + np.log(1.05) / 6.)
  alpha_adj_first = (
      1. - np.exp(-alpha - alpha[..., -1:] + np.log(1.05) / 6.))

  fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=[12, 6])
  intervention_perm = [2, 1, 3, 4, 0]
  percentile_vals = [2.5, 97.5]
  jitter = .2

  for ind in range(5):
    first_low, first_high = tfp.stats.percentile(
        alpha_adj_first[..., ind], percentile_vals)
    low, high = tfp.stats.percentile(
        alpha_adj[..., ind], percentile_vals)

    p_ind = intervention_perm[ind]
    ax.hlines(p_ind, low, high, label='Later Intervention', colors='g')
    ax.scatter(alpha_adj[..., ind].mean(), p_ind, color='g')
    ax.hlines(p_ind + jitter, first_low, first_high,
              label='First Intervention', colors='r')
    ax.scatter(alpha_adj_first[..., ind].mean(), p_ind + jitter, color='r')

    if ind == 0:
      plt.legend(loc='lower right')
  ax.set_yticks(range(5))
  ax.set_yticklabels(
      [any_intervention_list[intervention_perm.index(p)] for p in range(5)])
  ax.set_xlim([-0.01, 1.])
  r = fig.patch
  r.set_facecolor('white') 

intervention_effectiveness(alpha_hat)

PNG

4.2 Инфекции, смерти и R_t по странам

Подобно рисунку 2 Flaxman et al. (2020).

PNG

4.3 Ежедневное количество прогнозируемых / прогнозируемых смертей с вмешательствами и без них

PNG